写在前面： 

　　文章本身并不包含高数，最多初中数学，无论学霸学渣都请放心观看。提供一些小知识供感兴趣的同学们了解，并诚求数学大牛带路。 

　　吹个肥皂泡，泡泡是圆的。一滴雨珠滴落在地面上，水痕是圆的。眼珠是圆的，月亮是圆的，天穹仿佛也是圆的。为了把这个简单的圆搞定，从古至今不知有多少人穷尽了智慧。但他们的努力并没有白费，今天的小学生都能对它的终极奥秘了如指掌：它就是圆的周长和直径之比——π。 

　　很少有一个数字，它的伟大和精妙，它的神秘和捉摸不清，能够从史前开始，就贯穿了人类数学史，为了算π，古往今来的数学家和工程师们可谓穷尽所学。那么，我们究竟为什么要费劲儿搞出这么长一串看起来毫无规律的数字呢？ 

　　没有“边”可算？用“割圆术”试试看  

　　3.1415926，数学只要不是体育老师教的，这个π近似值应该都能脱口而出。这什么水平？放在古代，你已经完爆了绝大部分的数学家了。 

　　远古时期，交通基本靠走，通信基本靠吼，测量靠啥？靠的是实物，精度也就可想而知了。造个圆的车轱辘都难于上青天。把π的比率搞到小数点后两位这一点点进步，更是花费了人类不少时间。公元前1500年，巴比伦人的泥板上，π是25/8，也就是3.125；在古埃及，π是（16/9）2，也就是3.16，大约是用面积反推；古印度的一些典籍里面，π和根号10一样，等于3.162；《九章算术》干脆就直接“周三径一”，π=3.33。后来，“数学家”这种生物出现了。世界在他们的眼里，不再是一个个的车轱辘，而是简洁的线条和抽象的规则。圆溜溜的边没法下手，那我们就拿长得像圆的开刀：六边形比方的“更圆”，八边形比六边形更圆，二百五十六边形从远处看基本就是圆了……这就是所谓“割圆术”的基本思想。 

　　六边形，十二边形......边数再多一点呢？  

　　生活在三国时代、为汉代数学典籍《九章算术》做注的刘徽，似乎是参透了“圆出于方”这种玄学之辞。他研究出来的割圆术，给后世算圆周率的指了一个明路。“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于无可割，则与圆合体而无所失也”。而且，他采用了双向迫近的方法，相当于给了上限和下限，让结果更加精确。 

　　刘徽自己割出了3072边型，算出了π=3.1416。从面积算边长，难免用到开方，而那时候开方需要“筹算法”，简单地说就是用木条用复杂的过程横竖拼凑。边数越多，计算越复杂，到后来就成了体力活儿，需要大量的时间、精力、笔墨，以及小木棍。 

　　你一定见过的教科书插图之祖冲之老师画像  

　　为人民群众所熟知的祖冲之，用的就是刘徽的方法。南齐知识分子世家出身的祖冲之，从小热衷于机械、天文和数学，博学多才。他写的《缀术》，后来成为唐代国子监算学课本，据说困难艰深到要整整四年才能学完，堪比北大数学系。他算圆周率，割了一个24576边型，结果是3.1415926 <π< 3.1415927，用分数表示的“密率”为355/133，这个准确度一度领先西方多达一千年。在没有阿拉伯数字和算盘的公元400多年，其工程量之浩大简直难以想象。 

　　祖冲之的著述不少都已散佚，史书《隋书》中所记载的祖冲之的密率，也并没有被后世所用，甚至明清的一些数学典籍中也都是用的小数点后1、2位的数值。可见，数学成果的维护需要非常完备的理论体系，孤胆英雄也只能被后世拿出来歌颂而已，进入不了现实文明，甚是可惜。 

　　英雄所见略同？阿基米德也这么想！  

　　无独有偶。远在古希腊的阿基米德对圆周率也颇有研究。当时东西方的交流少到几乎可以忽略不计，两个人想到一起去、都采用了割圆的方式，可谓“英雄所见略同”；从时间角度看，阿基米德还稍早一些，以至于在π这个符号诞生之前，圆周率都被称为“阿基米德常数”。不过，阿基米德并没有像刘徽一样双向逼近，他自己也只算到了96边型，给出了22/7的略值。阿基米德是个伟大而执着的数学和物理宅，关于他泡澡算浮力、用支点撬地球、用先进的物理思想指挥武器发明（“我们罗马舰队与阿基米德一人战斗”，by罗马将军马塞拉斯）、在敌人进犯的时候坐在地上画图而被俘……等等事实和传说，直到现在都被人津津乐道。他的墓碑上，刻着圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二这个定理。 

　　阿基米德本人师从几何“大咖”欧几里得研究数学，而那时候的希腊亚历山大港，哲学家、思想家、数学家云集，为人类留下了不少数学遗产。用实数逼近有理数，即分数寻找最接近π的近似值的“丢番图逼近”，也是用“代数之父”、古希腊数学家丢番图的名字命名的。割圆这种原始的方法，一直“统治”到微积分正式诞生之前，算起来就是拼一个毅力。鲁道夫·范·库伦（Ludolph van Ceulen）就是一个非常倔的哥们儿。库伦从西班牙统治下的安特卫普出逃，来到宗教宽容的尼德兰，在莱登大学工程系任教，对于计算有着超乎寻常的热情。你知道他打破记录的时候用了多少边形么？262边形！（自己用科学计算器摁一下吧）但也只是把圆周率精确到了小数点后32位而已……为了纪念他，在德国，圆周率又被称为鲁道夫数（Ludolphine number），他自己的墓碑上也印着他算出来的圆周率。后来，鲁道夫的学生维尔布罗德·斯奈尔（Willebrord Snell）又进一步算到了35位，但这方法也差不多该到头了。该微积分登场了！ 

　　微积分来帮忙一算就是好几百位！  

　　割圆术，就是非常原始的微积分中的极限思想，不停地割，总会无限地靠近“圆”对吧？这种蛮力，被微积分举重若轻地这么一概括，不仅简明不少，而且把“无限地割下去”这个动作本身，也用“无穷级数”固定下来了。其实，在莱布尼茨和牛顿二位登场之前，早在14世纪的印度，一位名叫马德哈瓦（Madhava of Sangamagrama）的数学家，就使用了无穷级数的方法算π。这个喀拉拉邦（Kerala）数学和天文学校的老师，在他的著述里面研究了三角函数，给出了正弦、余弦和反正切函数的幂级数表达式，还有π的无穷级数计算公式，和后来莱布尼茨给出的算法基本是一个思路： 

　　马德哈瓦自己用这个方式算到了小数点后11位。当时的印度在突厥人、德里苏丹国的统治之下，承袭自阿拉伯的伊斯兰技术文明为印度带来了不小的影响。生活在同时代的数学家卡西（Jamshīd al-Kāshī）也是突厥人，居于花剌子模中心地带的撒马尔罕，他把圆周率算到了17位，这个记录保持了好几百年。 

　　说回微积分。有了微积分之后，算π事业的进展不小，牛顿自己也亲自算过π，但算到小数点后16位就没有继续了（大约是牛顿爵士有更重要更高深的问题要攻克吧）。那个年代的天文学家对计算更感兴趣，比如耶稣会成员、著名传教士汤若望的老师克林伯格（Christoph Grienberger，一说他还是用的多边形法）算到了38位，英国皇家天文学会的亚伯拉罕·夏普（Abraham Sharp），将π算到了小数点后71位上。 

　　牛顿：哈！我才没兴趣！这个名字写上了月球环形山的夏普，改进了天文望远镜，绘制了详尽而准确的星图，还是对数表的发明人，大概是那个年代最具数学才华的天文学家了。比起π来，他的对数表才是一大神器，甚至还为经度的数学测量做出了贡献，可谓大航海时代的带路人。 

　　这之后，使用级数计算π的记录创造者也不少。英国数学家约翰·马钦（John Machin），算到了100位、并改进了收敛性更好的公式；斯洛文尼亚数学家朱立·维嘉（Jurij Vega）算到了136位；最拼的是英国数学家威廉·香克斯，他用了大半辈子，将π算到了700多位！但是后来证明只有527位是正确的。在没有计算机的年代，这也是相当惊人的成就了（虽然用处并不大吧……）。更重要的不是位数是它本身 

　　这个时代，数学家们对π的其它特性的兴趣，远比π有多少位要浓厚。比如，π是无理数——你只能不断地靠近、却永远无法达到“真实”。算π算了好几千年，却发现“无理”竟然是深刻本性，π的神秘或许因此又多了一分。而且，它不仅仅是无理数（根号2也是无理数），还是“超越数”——它并不能表达为任何一个有理代数方程的根，跟整个有理数的世界都是割裂的，独立高冷到一定境界。 

　　著名数学家欧拉（Euler）提出π很可能是无理数，瑞士数学家朗伯（Johann Heinrich Lambert）在1761年首次给出了严密的证明，随后，法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre）证明了π平方也是无理数；1882年，德国数学家林登曼（Ferdinand von Lindemann）给出了π是超越数的完备证明。 

　　这期间，其实也是人们对于“数”本身的认识的深入，专注于这方面研究的高等数学，就是“数论”了。费马、高斯、欧拉、朗伯、拉格朗日、勒让德、黎曼等等考高数之前必拜防挂的著名数学家，就是这个领域的先锋。 

　　π也在那个年代，从圆与多边形的几何里走了出来，走入了纯数学的领域。研究数论的那帮人，即使不算π，和它也是有着不小的联系——要论最特别的“数”，π和自然对数e确实当仁不让。最有名的问题之一，“巴塞尔问题”，计算所有平方数的倒数的和，看起来跟几何毫无联系，但欧拉给出的最终解，竟然是π2/6。 

　　被评为“最美公式”的欧拉恒等式里面，也有π的身影 

　　也是这个时代，π的名字才被正式确定下来。1706年，威尔士数学家威廉·琼斯（William Jones）第一次将希腊字母π作为圆周率的代称，在这之前都是一个长长的拉丁名“quantitas in quam cum multiflicetur diameter, proveniet circumferencia”（“那个用直径乘上它能得到周长的数”）。为什么是π呢？大约是因为英语词“圆周”（periphery）的发音，或许也是因为流行于英国西南部的康沃尔派（Cornish Pie）是圆的吧（误）。这个简洁的符号被欧拉所采用，遂流行于世。 

　　一个不相关的八卦：  

　　思维奔逸不羁爱自由的物理学家费曼，因为一次玩笑而把自己的名字跟π联系起来。在π的第762位上，出现了连续6个9。费曼在讲课的时候打趣说，自己只要背到那一点，就能说“999等等”，并假装π是个无限循环的有理数……好冷的笑话。于是，这个点就被称为“费曼点”。 

　　计算这件小事当然是计算机来解决了！  

　　计算机诞生之后，不用说，“计算”这种事情就只管交给机器碾压吧。精确的位数呈指数级上涨，对计算机性能的考验也是指数级的；一段时间内，算π也成为了超级计算机计算能力的体现。约翰·伦奇（John Wrench）最先用电子计算机打破记录，而打破记录最多次的，是日本人金田康正的日立系列电脑，从80年代起就占据了绝对统治地位。其实在古代和近代，有不少日本数学家都算过π，比如挂谷宗一、关孝和等，虽然一直都没法打破世界记录，但他们各自在高等代数上却有过不小的贡献。 

　　除了计算能力，算法也很重要，好的算法能够将计算的时间降低一个量级，节约计算资源，在更短的时间内算出更多的位数。印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）给出了一些可以极大降低运算量的算法，成为众多计算机算法的基础；著名测试程序Super Pi采用的是高斯-勒让德算法；最近流行的还有结合了傅里叶变换的算法。有了牛逼电脑外加牛逼算法，算多少都不是问题。日本人"houkouonchi"在2014年创造记录的电脑，采用至强（Xeon）2.6GHz双核CPU、192G内存（商用级别，算不上超级计算机），用了200多天，算出了13兆位！虽然这么多位也不知道什么时候能用得上，但听上去就觉得好厉害……其实，π也并不限于“算”，还能“投”。18世纪时的博物学家布丰提出的问题，设一个以平行且等距木纹铺成的地板，随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和木纹相交的概率？这就是“布丰投针法”，最终答案是 1/π。1901年，意大利数学家拉扎里尼（Mario Lazzarini）还真用这个方法，抛了3000多根针，算出来π的近似值355/113。后来，投针法衍伸为可以用计算机模拟的“蒙特卡洛法”，相当于把几何题变成了概率题。 

　　或许，把π算到多少位，这个位数本身并不重要。但重要的是，小小的一个π，反映着人类工具、思想和智慧的进化。π离你并不远，不管是割圆也好、投针也好，你有兴趣，也可以自己试试看啰！ 

　　一个AI  

　　别说算π了，你们有多少人平面几何计算题里算个周长面积都出错？老是靠我们AI，你们好意思吗？！